N≥5인 모든 자연수 N에 대하여 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. Power[2,N]>Power[N,2]
수학적 귀납법을 사용하여 2N>N22^N > N^2가 N≥5N \geq 5인 모든 자연수 NN에 대해 성립함을 증명해 보겠습니다.
1. 기초 단계 (Base Case)
먼저, N=5N = 5일 때 2N>N22^N > N^2가 성립하는지 확인합니다.
- 25=322^5 = 32
- 52=255^2 = 25
따라서 32>2532 > 25이므로, N=5N = 5일 때 부등식이 성립합니다.
2. 귀납 단계 (Inductive Step)
귀납법의 두 번째 단계로, N=kN = k일 때 2k>k22^k > k^2가 성립한다고 가정합니다. 이를 귀납 가정이라고 합니다.
이제 N=k+1N = k+1일 때 2k+1>(k+1)22^{k+1} > (k+1)^2임을 증명해야 합니다.
귀납 가정:
2k>k22^k > k^2
목표:
2k+1>(k+1)22^{k+1} > (k+1)^2
우리는 2k+12^{k+1}를 다음과 같이 표현할 수 있습니다: 2k+1=2⋅2k2^{k+1} = 2 \cdot 2^k
이제 2⋅2k>2⋅k22 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2인지 확인하고, 2⋅k2>(k+1)22 \cdot k^2 > (k+1)^2인지를 확인해 보겠습니다.
1. 2⋅2k>2⋅k22 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2
귀납 가정에 의해 2k>k22^k > k^2이므로, 이 식은 자명하게 참입니다.
2. 2⋅k2>(k+1)22 \cdot k^2 > (k+1)^2
이 부등식이 성립하는지를 확인합니다: 2k2>(k+1)22k^2 > (k+1)^2 2k2>k2+2k+12k^2 > k^2 + 2k + 1 2k2−k2−2k−1>02k^2 - k^2 - 2k - 1 > 0 k2−2k−1>0k^2 - 2k - 1 > 0
이 부등식을 만족하는지 보기 위해 kk의 값을 확인합니다. k2−2k−1k^2 - 2k - 1이 k≥5k \geq 5일 때 양수인지를 봅시다.
- k=5k = 5일 때: 52−2⋅5−1=25−10−1=145^2 - 2 \cdot 5 - 1 = 25 - 10 - 1 = 14
14>014 > 0이므로, k=5k = 5일 때 부등식이 성립합니다.
더 큰 kk에 대해서도 부등식이 성립하는지 봅시다. k≥5k \geq 5에서 2차 함수 k2−2k−1k^2 - 2k - 1은 계속 증가합니다.
따라서 k≥5k \geq 5이면 항상 k2−2k−1>0k^2 - 2k - 1 > 0입니다.
따라서 2k2>(k+1)22k^2 > (k+1)^2이 k≥5k \geq 5일 때 성립합니다.
결론
귀납 가정이 N=kN = k일 때 성립한다고 가정했을 때, N=k+1N = k+1일 때도 성립함을 보였습니다. 따라서, 수학적 귀납법에 의해 N≥5N \geq 5인 모든 자연수 NN에 대해 2N>N22^N > N^2가 성립합니다.
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수학적 귀납법은 수학에서 어떤 명제가 모든 자연수에 대해 참임을 증명하기 위해 사용하는 방법입니다. 이 방법은 두 단계로 구성되어 있습니다:
- 기초 단계 (Base Step):
- 명제가 가장 작은 자연수 nn에 대해 참임을 증명합니다. 보통 이 nn은 1이거나 0입니다.
- 귀납 단계 (Inductive Step):
- 임의의 자연수 kk에 대해 명제가 참이라고 가정하고, 이 가정 하에 명제가 k+1k+1에 대해서도 참임을 증명합니다. 이 단계에서는 다음과 같은 논리를 사용합니다:
- 명제가 kk에 대해 참임을 가정합니다. (귀납 가정, Inductive Hypothesis)
- 명제가 k+1k+1에 대해서도 참임을 증명합니다.
- 임의의 자연수 kk에 대해 명제가 참이라고 가정하고, 이 가정 하에 명제가 k+1k+1에 대해서도 참임을 증명합니다. 이 단계에서는 다음과 같은 논리를 사용합니다:
이 두 단계를 모두 만족하면, 명제가 모든 자연수에 대해 참임을 결론지을 수 있습니다. 이를 간단한 예를 통해 설명해 보겠습니다.
예시: 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
명제가 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}임을 증명해 봅시다.
- 기초 단계:
- n=1n = 1일 때, 좌변은 11이고, 우변은 1(1+1)2=1\frac{1(1+1)}{2} = 1입니다.
- 따라서 n=1n = 1일 때 명제가 참임을 알 수 있습니다.
- 귀납 단계:
- n=kn = k일 때, 1+2+3+⋯+k=k(k+1)21 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}라고 가정합니다.
- n=k+1n = k+1일 때를 고려해 봅시다. 1+2+3+⋯+k+(k+1)1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1)가 성립하는지 확인해야 합니다.
- 좌변은 (1+2+3+⋯+k)+(k+1)\left(1 + 2 + 3 + \cdots + k\right) + (k+1)입니다. 귀납 가정을 사용하면, 이는 k(k+1)2+(k+1)\frac{k(k+1)}{2} + (k+1)가 됩니다.
- 우변을 계산하면: k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
- 이는 (k+1)((k+1)+1)2\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}와 동일합니다.
따라서, 명제가 k+1k+1에 대해서도 참임을 보였습니다. 기초 단계와 귀납 단계를 통해 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}가 모든 자연수 nn에 대해 참임을 증명할 수 있습니다.
수학적 귀납법은 이처럼 논리적으로 명제의 참을 확장하는 매우 강력한 도구입니다.
고2수학
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