보석

일차함수 x+ay+b=0(a≠0,b≠0)의 그래프가 제 1사분면을 지나지 않을 때，다음 번호 중에서 옳은 것은 몇번인가?

일차함수 x+ay+b=0x + ay + b = 0x+ay+b=0의 그래프가 제 1사분면을 지나지 않을 때, 조건을 확인해 봅시다. 먼저 일차함수의 그래프가 제 1사분면을 지나지 않는다는 것은 제 1사분면에 있는 점 (x,y)(x, y)(x,y)에 대해 x+ay+b=0x + ay + b = 0x+ay+b=0의 그래프가 통과하지 않는다는 의미입니다.

일차함수 x+ay+b=0x + ay + b = 0x+ay+b=0를 yyy에 대해 정리하면 다음과 같이 됩니다: y=−1ax−bay = -\frac{1}{a}x - \frac{b}{a}y=−a1​x−ab​

이 함수가 제 1사분면을 지나지 않기 위해서는, 제 1사분면에 있는 xxx와 yyy가 동시에 양수일 때, 그 값들이 함수의 그래프 위에 있을 수 없다는 의미입니다.

그래프가 제 1사분면을 지나지 않기 위해서는 다음 두 가지 조건 중 하나가 성립해야 합니다:

1. 그래프가 제 2사분면과 제 3사분면만 지나가는 경우
2. 그래프가 제 3사분면과 제 4사분면만 지나가는 경우

이 조건을 만족하려면, 다음 경우를 살펴봐야 합니다:

1. a > 0, b > 0: y=−1ax−bay = -\frac{1}{a}x - \frac{b}{a}y=−a1​x−ab​ 이 경우, 기울기 −1a-\frac{1}{a}−a1​가 음수이므로, 그래프는 오른쪽 아래 방향으로 기울어집니다. 그러나 절편 −ba-\frac{b}{a}−ab​가 음수이므로 그래프는 y축을 음수 절편에서 만나게 됩니다. 따라서 제 1사분면을 지나지 않을 가능성이 있습니다. (다만, 실제로는 제1사분면을 지날 수 있습니다.)
2. a > 0, b < 0: y=−1ax+∣b∣ay = -\frac{1}{a}x + \frac{|b|}{a}y=−a1​x+a∣b∣​ 이 경우, 기울기 −1a-\frac{1}{a}−a1​가 음수이고, y절편 ∣b∣a\frac{|b|}{a}a∣b∣​는 양수입니다. 따라서 그래프는 y축을 양수 절편에서 만나며, 제 1사분면을 반드시 지나게 됩니다. (제1사분면을 지나게 됩니다.)
3. a < 0, b > 0: y=1∣a∣x−b∣a∣y = \frac{1}{|a|}x - \frac{b}{|a|}y=∣a∣1​x−∣a∣b​ 이 경우, 기울기 1∣a∣\frac{1}{|a|}∣a∣1​가 양수이고, y절편 −b∣a∣-\frac{b}{|a|}−∣a∣b​가 음수입니다. 따라서 그래프는 y축을 음수 절편에서 만나고, 제 1사분면을 지나지 않을 가능성이 있습니다.
4. a < 0, b < 0: y=1∣a∣x+∣b∣∣a∣y = \frac{1}{|a|}x + \frac{|b|}{|a|}y=∣a∣1​x+∣a∣∣b∣​ 이 경우, 기울기 1∣a∣\frac{1}{|a|}∣a∣1​가 양수이고, y절편 ∣b∣∣a∣\frac{|b|}{|a|}∣a∣∣b∣​는 양수입니다. 따라서 그래프는 y축을 양수 절편에서 만나며, 제 1사분면을 반드시 지나게 됩니다.
5. a + b > 0, a - b < 0: 이 조건을 분석해 보겠습니다.
   • a+b>0a + b > 0a+b>0은 b>−ab > -ab>−a를 의미합니다.
   • a−b<0a - b < 0a−b<0은 a<ba < ba<b를 의미합니다. 이 두 조건이 동시에 성립하면, bbb는 양수일 가능성이 높고, aaa는 음수일 가능성이 높습니다. 따라서 기울기가 양수이고 y절편이 양수일 가능성이 높습니다. 이는 제 1사분면을 지날 가능성이 있습니다.

이제 올바른 선택지를 찾으면:

• ④ a < 0, b > 0: 이 경우 그래프는 제 1사분면을 지나지 않을 가능성이 높습니다.

따라서 옳은 선택지는 ③ a < 0, b > 0입니다.

주어진 일차 방정식 x + ay + b =0 (여기서 a≠0이고 b≠0)은 xy-평면에서의 직선을 나타냅니다. 이 방정식 그래프가 제1사분면을 지나지 않는 조건은 이 직선이 전적으로 제2사분면과 제4사분면에 위치함을 의미합니다.

이제 옵션을 분석해 보겠습니다:

1. a>0, b>0: 이 옵션은 기울기가 양수이고 y-절편이 양수이면, 이 직선이 제1사분면을 통과하게 됩니다.

따라서 이 옵션은 틀렸습니다.

2. a>0, b<0: 이는 기울기가 양수이고 y-절편이 음수이므로, 이 직선이 제1사분면을 통과하게 됩니다. 따라서 이 옵션 또한 틀렸습니다.

3. a<0, b>0: 이 옵션은 기울기가 음수이고 y-절편이 양수이면, 이 직선이 제1사분면을 통과하게 됩니다. 따라서 이 역시 틀립니다.

4. a<0, b<0: 여기서 기울기는 음수이고 y-절편도 음수입니다. 이는 이 직선이 제시된 조건을 만족시키며, 제2사분면과 제4사분면에 위치함을 의미합니다. 따라서 이 옵션이 올바른 것으로 나타납니다.

5. a+b>0, a-b<0: 이러한 부등식들은 기울기와 y-절편과 바로 연결되지 않으므로, xy-평면에서의 해당 직선의 위치와 직접적으로 관련되지는 않습니다.

분석 결과, 올바른 옵션은 "4. a<0, b<0"입니다.

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일차함수

일차함수는 형태가 f(x)=ax+bf(x) = ax + bf(x)=ax+b인 함수로서, aaa와 bbb는 상수입니다. 여기서 aaa는 기울기를 나타내고, bbb는 y절편을 나타냅니다. 일차함수는 직선의 방정식을 나타내며, 수학에서 매우 중요한 개념입니다.

일차함수의 특징:

1. 기울기 (aaa):
   • a>0a > 0a>0: 함수는 오른쪽 위 방향으로 기울어집니다 (양의 기울기).
   • a<0a < 0a<0: 함수는 오른쪽 아래 방향으로 기울어집니다 (음의 기울기).
   • a=0a = 0a=0: 함수는 수평선 (y축과 평행)입니다.
2. y절편 (bbb):
   • 함수가 y축을 교차하는 점을 나타냅니다. 즉, x=0x = 0x=0일 때의 함수 값입니다.
3. 그래프의 형태:
   • 일차함수의 그래프는 직선입니다.
   • 기울기 aaa가 클수록 직선의 기울기가 가파르고, 작을수록 완만해집니다.

일차함수의 예시:

1. f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1:
   • 기울기 a=2a = 2a=2, y절편 b=1b = 1b=1.
   • 기울기가 양수이므로 오른쪽 위 방향으로 기울어진 직선이 그려집니다.
2. f(x)=−3x+4f(x) = -3x + 4f(x)=−3x+4:
   • 기울기 a=−3a = -3a=−3, y절편 b=4b = 4b=4.
   • 기울기가 음수이므로 오른쪽 아래 방향으로 기울어진 직선이 그려집니다.
3. f(x)=0.5xf(x) = 0.5xf(x)=0.5x:
   • 기울기 a=0.5a = 0.5a=0.5, y절편 b=0b = 0b=0.
   • 기울기가 양수이므로 오른쪽 위 방향으로 기울어진 직선이지만 y절편이 0이므로 원점을 지나는 직선입니다.

일차함수의 활용:

• 일차함수는 매우 간단하면서도 다양한 현실 세계의 상황을 모델링하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 시간에 따른 거리 변화, 비용과 수익의 관계 등을 나타내는 데 많이 사용됩니다.
• 미분과 적분에서 기본적인 함수로 사용되며, 물리학, 경제학, 공학 등 여러 학문 분야에서 중요한 도구로 활용됩니다.

이러한 특성과 활용을 통해 일차함수는 수학적 모델링과 문제 해결에 있어서 매우 기본적이면서도 중요한 역할을 합니다.

N≥5인 모든 자연수 N에 대하여 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. Power[2,N]>Power[N,2]

수학적 귀납법을 사용하여 2N>N22^N > N^22N>N2가 N≥5N \geq 5N≥5인 모든 자연수 NNN에 대해 성립함을 증명해 보겠습니다.

1. 기초 단계 (Base Case)

먼저, N=5N = 5N=5일 때 2N>N22^N > N^22N>N2가 성립하는지 확인합니다.

• 25=322^5 = 3225=32
• 52=255^2 = 2552=25

따라서 32>2532 > 2532>25이므로, N=5N = 5N=5일 때 부등식이 성립합니다.

2. 귀납 단계 (Inductive Step)

귀납법의 두 번째 단계로, N=kN = kN=k일 때 2k>k22^k > k^22k>k2가 성립한다고 가정합니다. 이를 귀납 가정이라고 합니다.

이제 N=k+1N = k+1N=k+1일 때 2k+1>(k+1)22^{k+1} > (k+1)^22k+1>(k+1)2임을 증명해야 합니다.

귀납 가정:

2k>k22^k > k^22k>k2

목표:

2k+1>(k+1)22^{k+1} > (k+1)^22k+1>(k+1)2

우리는 2k+12^{k+1}2k+1를 다음과 같이 표현할 수 있습니다: 2k+1=2⋅2k2^{k+1} = 2 \cdot 2^k2k+1=2⋅2k

이제 2⋅2k>2⋅k22 \cdot 2^k > 2 \cdot k^22⋅2k>2⋅k2인지 확인하고, 2⋅k2>(k+1)22 \cdot k^2 > (k+1)^22⋅k2>(k+1)2인지를 확인해 보겠습니다.

1. 2⋅2k>2⋅k22 \cdot 2^k > 2 \cdot k^22⋅2k>2⋅k2

귀납 가정에 의해 2k>k22^k > k^22k>k2이므로, 이 식은 자명하게 참입니다.

2. 2⋅k2>(k+1)22 \cdot k^2 > (k+1)^22⋅k2>(k+1)2

이 부등식이 성립하는지를 확인합니다: 2k2>(k+1)22k^2 > (k+1)^22k2>(k+1)2 2k2>k2+2k+12k^2 > k^2 + 2k + 12k2>k2+2k+1 2k2−k2−2k−1>02k^2 - k^2 - 2k - 1 > 02k2−k2−2k−1>0 k2−2k−1>0k^2 - 2k - 1 > 0k2−2k−1>0

이 부등식을 만족하는지 보기 위해 kkk의 값을 확인합니다. k2−2k−1k^2 - 2k - 1k2−2k−1이 k≥5k \geq 5k≥5일 때 양수인지를 봅시다.

• k=5k = 5k=5일 때: 52−2⋅5−1=25−10−1=145^2 - 2 \cdot 5 - 1 = 25 - 10 - 1 = 1452−2⋅5−1=25−10−1=14

14>014 > 014>0이므로, k=5k = 5k=5일 때 부등식이 성립합니다.

더 큰 kkk에 대해서도 부등식이 성립하는지 봅시다. k≥5k \geq 5k≥5에서 2차 함수 k2−2k−1k^2 - 2k - 1k2−2k−1은 계속 증가합니다.

따라서 k≥5k \geq 5k≥5이면 항상 k2−2k−1>0k^2 - 2k - 1 > 0k2−2k−1>0입니다.

따라서 2k2>(k+1)22k^2 > (k+1)^22k2>(k+1)2이 k≥5k \geq 5k≥5일 때 성립합니다.

결론

귀납 가정이 N=kN = kN=k일 때 성립한다고 가정했을 때, N=k+1N = k+1N=k+1일 때도 성립함을 보였습니다. 따라서, 수학적 귀납법에 의해 N≥5N \geq 5N≥5인 모든 자연수 NNN에 대해 2N>N22^N > N^22N>N2가 성립합니다.

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수학적 귀납법은 수학에서 어떤 명제가 모든 자연수에 대해 참임을 증명하기 위해 사용하는 방법입니다. 이 방법은 두 단계로 구성되어 있습니다:

1. 기초 단계 (Base Step):
   • 명제가 가장 작은 자연수 nnn에 대해 참임을 증명합니다. 보통 이 nnn은 1이거나 0입니다.
2. 귀납 단계 (Inductive Step):
   • 임의의 자연수 kkk에 대해 명제가 참이라고 가정하고, 이 가정 하에 명제가 k+1k+1k+1에 대해서도 참임을 증명합니다. 이 단계에서는 다음과 같은 논리를 사용합니다:
     • 명제가 kkk에 대해 참임을 가정합니다. (귀납 가정, Inductive Hypothesis)
     • 명제가 k+1k+1k+1에 대해서도 참임을 증명합니다.

이 두 단계를 모두 만족하면, 명제가 모든 자연수에 대해 참임을 결론지을 수 있습니다. 이를 간단한 예를 통해 설명해 보겠습니다.

예시: 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}1+2+3+⋯+n=2n(n+1)​

명제가 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}1+2+3+⋯+n=2n(n+1)​임을 증명해 봅시다.

1. 기초 단계:
   • n=1n = 1n=1일 때, 좌변은 111이고, 우변은 1(1+1)2=1\frac{1(1+1)}{2} = 121(1+1)​=1입니다.
   • 따라서 n=1n = 1n=1일 때 명제가 참임을 알 수 있습니다.
2. 귀납 단계:
   • n=kn = kn=k일 때, 1+2+3+⋯+k=k(k+1)21 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}1+2+3+⋯+k=2k(k+1)​라고 가정합니다.
   • n=k+1n = k+1n=k+1일 때를 고려해 봅시다. 1+2+3+⋯+k+(k+1)1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1)1+2+3+⋯+k+(k+1)가 성립하는지 확인해야 합니다.
   • 좌변은 (1+2+3+⋯+k)+(k+1)\left(1 + 2 + 3 + \cdots + k\right) + (k+1)(1+2+3+⋯+k)+(k+1)입니다. 귀납 가정을 사용하면, 이는 k(k+1)2+(k+1)\frac{k(k+1)}{2} + (k+1)2k(k+1)​+(k+1)가 됩니다.
   • 우변을 계산하면: k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}2k(k+1)​+(k+1)=2k(k+1)+2(k+1)​=2(k+1)(k+2)​
   • 이는 (k+1)((k+1)+1)2\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}2(k+1)((k+1)+1)​와 동일합니다.

따라서, 명제가 k+1k+1k+1에 대해서도 참임을 보였습니다. 기초 단계와 귀납 단계를 통해 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}1+2+3+⋯+n=2n(n+1)​가 모든 자연수 nnn에 대해 참임을 증명할 수 있습니다.

수학적 귀납법은 이처럼 논리적으로 명제의 참을 확장하는 매우 강력한 도구입니다.

고2수학